Существование жорданова базиса

Система векторов $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}$ называется **нильслоем**, если $$\begin{matrix} \mathcal{A}v_{1} = v_{2} \\ \mathcal{A}v_{2} = v_{3} \\ \dots\dots\dots \\ \mathcal{A}v_{k - 1} = v_{k} \\ \mathcal{A}v_{k} = 0 \end{matrix}$$ Если $\mathcal{A}$ - нильпотентный оператор со ступенью $k$, то из любого $v_{1}$ можно вытянуть нильслой: $$\left. \begin{align} v_{1} &= v_{1} \\ v_{2} &:= \mathcal{A}v_{1} \\ &\dots \\ v_{k} &:= \mathcal{A}v_{k - 1} \end{align} \right| \implies \mathcal{A}v_{k} = \mathcal{A}^{k}v_{1} = 0$$

Нильслой - это линейно независимая система векторов.

Пусть $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}$ - нильслой. Рассмотрим некоторую линейную комбинацию: $$\alpha_{1}v_{1} + \alpha_{2}v_{2} + \dots + \alpha_{k}v_{k} = 0 \qquad(1)$$ От противного: Система линейно зависима, то есть не все $\alpha_{i} = 0$ Пусть $i$ - минимальный номер $\alpha_{i} \neq 0$, тогда $(1)$ имеет вид: $$\alpha_{i}v_{i} + \alpha_{i+1}v_{i+1} + \dots + \alpha_{k}v_{k} = 0 \qquad (2)$$ Подействуем $\mathcal{A}^{k - i}$ на $(2)$: $$\mathcal{A}^{k-i}(\alpha_{i}v_{i} + \dots + \alpha_{k}v_{k}) =^{*} \alpha_{i}v_{k} =^{\dagger} 0$$ $*$ - по определению нильслоя обратили в $0$ всё, что больше $i$ $\dagger$ - из $(2)$ и того, что $\mathcal{A}^{k-i}(0) = 0$ Так как $v_{k} \neq 0$, то $\alpha_{i} = 0$, что противоречит выбору $i$. $\square$

Система векторов называется **жордановой** относительно оператора $\mathcal{A}$, если состоит из нильслоев, следующих друг за другом. **Жордановой таблицей** называется таблица, в строках которой стоят нильслои, выравненные по правому краю. $$\left(\begin{array}{c|c} v_{11} & v_{12} & v_{13}& \dots & v_{1k_{1}} \\ 0 & 0 & v_{21} & \dots & v_{2k_{2}}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots\end{array}\right)$$

1. Прибавить к строке фрагмент той же длины, взятые из строки не короче исходной, умножить на скаляр и при необходимости выровнять по правом краю 2. Умножить все векторы строки на ненулевой скаляр 3. Поменять две строки местами

Элементарные преобразования **сохраняют**: - Свойство таблицы быть жордановой - Её линейную оболочку

Жорданова система линейно независима $\iff$ векторы в правом столбце линейно независимы

$\Large\implies$ Если линейно независима вся система, то ясно, что и правый столбец линейно независим. $\Large\impliedby$ От противного: система линейно зависима. Тогда: $$\sum \alpha_{ij}v_{ij} = 0 \qquad \exists{\alpha_{ij} \neq 0}$$ Пусть $m$ - длина самого длинного нильслоя, а $k$ - наименьшее такое, что $\alpha_{sk} \neq 0$ для какого-то $s$ Подействуем на систему оператором $\mathcal{A}^{m - k}$, получим: 1. Все векторы правее столбца $k$ перейдут в $0$ по определению нильслоя 2. Все векторы левее столбца $k$ равны $0$ по выбору $k$ 3. Векторы в $k$ столбце перейдут в последний То есть: $$\mathcal{A}^{m-k}\left( \sum \alpha_{ij}v_{ij} \right) = \sum \alpha_{ik} \mathcal{A}^{m-k}v_{ik} = \sum \alpha_{ik}v_{im} = 0$$ Получили систему из векторов правого столбца, она линейно независима. Значит $\alpha_{ik} = 0$. Так как среди них есть $\alpha_{sk}$, то $\alpha_{sk} = 0$, противоречие. $\square$

$\Large\implies$ Если линейно независима вся система, то ясно, что и правый столбец линейно независим. $\Large\impliedby$ От противного: система линейно зависима. Тогда: $$\sum \alpha_{ij}v_{ij} = 0 \qquad \exists{\alpha_{ij} \neq 0}$$ Пусть $m$ - длина самого длинного нильслоя. Подействуем на систему оператором $\mathcal{A}^{m - 1}$, получим: 1. Все векторы правее первого столбца перейдут в $0$ по определению нильслоя 2. Векторы в первом столбце перейдут в последний То есть: $$\mathcal{A}^{m-1}\left( \sum \alpha_{ij}v_{ij} \right) = \sum \alpha_{i1} \mathcal{A}^{m-1}v_{i1} = \sum \alpha_{i1}v_{im} = 0$$ Получили систему из векторов правого столбца, она линейно независима. Значит $\alpha_{i1} = 0$, то есть все коэффициенты в первом столбце равны нулю. Вычеркнем этот столбец Повторим процесс, применив оператор $\mathcal{A}^{m-2}$, получим $\alpha_{i2} = 0$ и т.д. Продолжая действия, пройдём все столбцы и получим, что $\forall{\alpha_{ij} = 0}$, противоречие. $\square$

Пусть $\mathcal{A}$ - нильпотентный оператор. Тогда существует базис, в котором его матрица имеет блочно-диагональный вид: $$[\mathcal{A}] = \begin{pmatrix} J_{1}(0) & O & O & \dots & O \\ O & J_{2}(0) & O & \dots & O \\ O & O & J_{3}(0) & \dots & O \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & O & \dots & J_{k}(0) \end{pmatrix}$$ где $O$ - нулевые блоки, а $J_{i}(0)$ имеет вид: $$ J_i(0) = \begin{pmatrix} 0 & & & & \\ 1 & 0 & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & 1 & 0 & \\ & & & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ Такой базис называется **жордановым**

Жорданов базис строится с использованием Жордановых таблиц и элементарных преобразований над ними. Исходно таблица заполняется нильслоями, построенными из векторов некоторого базиса $V$. Преобразования выполняются до тех пор, пока векторы в правом столбце таблицы не станут линейно независимыми. Совокупность всех векторов $\{b_{ij}\}$ из итоговой таблицы образует жорданов базис. Рассмотрим одну строку (жорданову цепочку) из такой таблицы: $b_1, b_2, \dots, b_m$. По построению, $b_{j+1} = \mathcal{A}b_j$ для $j < m$, и $\mathcal{A}b_m = 0$. Следовательно, ясно, что в базисе $(b_1, \dots, b_m)$ подпространства $W_{j} = \langle b_1, \dots, b_m \rangle$, матрица ограничения $\mathcal{A}|_{W_j}$ является жордановой клеткой $J_m(0)$. Поскольку $V$ является прямой суммой таких $\mathcal{A}$-инвариантных подпространств $W_j$, объединение базисов этих подпространств (т.е. всех векторов из всех строк таблицы) образует жорданов базис для $V$. В этом базисе матрица оператора $\mathcal{A}$ будет блочно-диагональной с жордановыми клетками $J_{k_j}(0)$ на диагонали. $\square$

Пусть $\mathcal{A}\mathpunct{:}~~ V \to V$ линейный оператор и характеристический многочлен раскладывается на линейные множители. Тогда существует базис, в котором его матрица имеет блочно-диагональный вид: $$[\mathcal{A}] = \begin{pmatrix} J_{1}(\lambda) & O & O & \dots & O \\ O & J_{2}(\lambda) & O & \dots & O \\ O & O & J_{3}(\lambda) & \dots & O \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & O & \dots & J_{k}(\lambda) \end{pmatrix}$$ где $O$ - нулевые блоки, а $J_{i}(\lambda)$ имеет вид: $$ J_i(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & & & & \\ 1 & \lambda & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & 1 & \lambda & \\ & & & 1 & \lambda \end{pmatrix} $$ Причём собственные числа между блоками могут совпадать.

Разложим пространство на сумму корневых, используя корневое разложение: $$V = \mathop{\bigoplus}\limits_{i=1}^{k} K_{\mathcal{A}}(\lambda_{i}) = K_{\mathcal{A}}(\lambda_{1}) \oplus K_{\mathcal{A}}(\lambda_{2}) \oplus \dots \oplus K_{\mathcal{A}}(\lambda_{k})$$ Из доказательства теоремы знаем, что нильпотентным оператором является оператор $(\mathcal{A} - \lambda \mathcal{E})|_{K_{\mathcal{A}}(\lambda_{i})}$. Применим к нему предыдущую теорему и прибавим к полученной матрице $\lambda E$, чтобы получить матрицу $\mathcal{A}|_{K_{\mathcal{A}}(\lambda_{i})}$. Проделав эти действия над каждым корневым подпространством в разложении и собрав полученные блоки в матрицу, получим искомую матрицу. $\square$